۱- عبارت‌های زیر را ساده کنید.
برای ساده کردن این عبارت‌ها، از دو اصل اساسی استفاده می‌کنیم: ۱) ضرب یک‌جمله‌ای‌ها در هم و ۲) جمع و تفریق جملات متشابه.
**جمع و تفریق جملات متشابه:**
- $ ۴ax+a^۲+ax = (۴ax+ax)+a^۲ = ۵ax+a^۲ $
- $ ۳ab+b^۲-a^۲-۵ab = (۳ab-۵ab)+b^۲-a^۲ = -۲ab+b^۲-a^۲ $
- $ ۲a-۸xy+۲xy = ۲a+(-۸xy+۲xy) = ۲a-۶xy $
- $ ۹x+۷x-۸x-۳+۱۱x+۵ = (۹x+۷x-۸x+۱۱x)+(-۳+۵) = ۱۹x+۲ $
**ضرب یک‌جمله‌ای‌ها:**
- $ ۵(-۲a) = -۱۰a $
- $ (\frac{۳}{۲})(۴b) = ۶b $
- $ (-۷)(-۴x) = ۲۸x $
- $ (-\frac{۴}{۵})(۳y) = -\frac{۱۲}{۵}y $
- $ ۳a(-۵x) = -۱۵ax $
- $ -\frac{۱}{۲}a(۳b) = -\frac{۳}{۲}ab $
- $ (-a)(-b) = ab $
- $ (-a)(-a) = a^۲ $
**ضرب یک‌جمله‌ای در چندجمله‌ای (خاصیت توزیع‌پذیری):**
- $ ۲x(۳a-b) = (۲x)(۳a) - (۲x)(b) = ۶ax-۲bx $
- $ ۳y(۲x-۵y) = (۳y)(۲x) - (۳y)(۵y) = ۶xy-۱۵y^۲ $
**ضرب دو دوجمله‌ای:**
- $ (x+۲)(x+۱) = x(x+۱)+۲(x+۱) = x^۲+x+۲x+۲ = x^۲+۳x+۲ $
- $ (a+۴)(a-۶) = a(a-۶)+۴(a-۶) = a^۲-۶a+۴a-۲۴ = a^۲-۲a-۲۴ $
۲- عدد ۴۷ را می‌توان به صورت ۷ + ۴۰ یا ۱۰×۴ + ۷ نوشت؛ به همین ترتیب، عددهای زیر را به صورت گسترده بنویسید.
نوشتن اعداد به صورت گسترده به معنی نمایش دادن ارزش مکانی هر رقم است. همانطور که در مثال $۴۷ = ۴ \times ۱۰ + ۷$ نشان داده شده، عدد در جایگاه دهگان در ۱۰ و عدد در جایگاه یکان در ۱ ضرب می‌شود (که معمولاً نوشته نمی‌شود).
- $ ۳۳ = ۳۰ + ۳ = (۳ \times ۱۰) + ۳ $
- $ ۷۵ = ۷۰ + ۵ = (۷ \times ۱۰) + ۵ $
- $ ۹۲ = ۹۰ + ۲ = (۹ \times ۱۰) + ۲ $
این روش پایه‌ای برای درک نمایش جبری اعداد است. به طور کلی، هر عدد دو رقمی که دهگان آن $a$ و یکان آن $b$ باشد، به صورت $ \overline{ab} = ۱۰a+b $ نمایش داده می‌شود.
